[파이썬 | BOJ | 2749] 피보나치 수 3

https://www.acmicpc.net/problem/2749

2749번: 피보나치 수 3

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>=2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이

기존 피보나치는 다이나믹 프로그래밍으로 O(N)으로 해결가능한데, 이 문제의 n 제한은 100경(...)으로 O(logN)으로 해결해야 풀 수 있다. 그런데 피보나치를 구하는 방법중에서 행렬을 이용해서 풀 수 있는데, 

처럼 행렬식으로 표현 할 수 있다.

이렇게 표현하면, f(n)을 행렬의 지수식으로 표현할 수 있다.

지수를 계산하는 알고리즘은 O(lgN)이 존재하므로, 행렬의 제곱을 O(lgN)로 계산하면 시간내에 해결 할 수 있다.

물론 피보나치의 일반식도 존재하지만 무리수가 나타나므로 컴퓨터 프로그래밍에서 사용하기엔 적합하지 않다.

 

지수식의 O(lgN)알고리즘은, 분할정복의 일종으로

예를들어 A의 10승을 계산한다고 하면, A의 5승의 제곱이고, A의 5승은 A의 2승 * A의 3승... 이렇게 이분할로 줄여나갈 수 있다.